\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath, amssymb}
\pagestyle{empty}

\begin{document}
\begin{center}
{\bf Летние сборы 2001.
Группа А.
Математический бой.}
\end{center}

{\bf 1.} 
Даны $m$-элементные множества $A_1$, $A_2$, \dots, $A_k$ и $n$-элементные множества $B_1$, $B_2$, \dots, $B_k$ такие, что  $A_i \cap B_j = \emptyset$ $\Leftrightarrow$ $i = j$.
Докажите, что $k \leqslant C_{m+n}^m$.

{\bf 2.} 
Пусть $A$ --- множество из $n \geqslant 4$ точек плоскости.
Для каждой точки $X \in A$ обозначим через $F(X)$ число наиболее удаленных от нее  точек из $A$. 
Докажите, что $\sum_{X \in A} F(X) \leqslant 3n-3$.

{\bf 3.} 
Дано простое число $p = \overline{a_n a_{n-1} \dots a_1 a_0}$.
Докажите, что многочлен $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ неприводим.

{\bf 4.} 
На плоскости даны три непересекающихся круга.
К ним проведены все $6$ общих внешних касательных, образующие выпуклый шестиугольник.
Докажите, что его главные диагонали пересекаются в одной точке.

{\bf 5.} 
Дан отрезок $AC$.
Рассмотрим все равнобедренные треугольники $ABC$, построенные на $AC$ как на основании.
Найдите геометрическое место точек $P$ внутри $ABC$ таких, что $\angle PAC = \angle PBA = \angle PCB$.

{\bf 6.} 
Граф называется полуплоским, если при любом разбиении множества его вершин  на две части хотя бы один из полученных графов является плоским. 
Докажите, что вершины полуплоского графа можно так покрасить в $10$ цветов, чтобы никакие две вершины одного цвета не были соединены ребром.

{\bf 7.} 
Существует ли такое вещественное $\alpha$, что $\{ \alpha^n \} \in \left( \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right)$ для любого натурального $n$?

{\bf 8.} 
Дан многочлен третьей степени $p(x)$, имеющий три различных рациональных корня.
Всегда ли найдется такое вещественное число $a \neq 0$, что многочлен $p(x) - a$ также имеет три различных рациональных корня?

{\bf 9.} 
Докажите неравенство 
\[\displaystyle (xy + yz + zx) \left( \frac{1}{(x+y)^2} + \frac{1}{(y+z)^2} + 
  \frac{1}{(z+x)^2} \right) \geqslant \frac{9}{4}\]
при $x$, $y$, $z > 0$.

{\bf 10.} 
Дано подмножество $X \subset \{1, 2, \dots, n^3 \}$, состоящее из $3n^2$ элементов ($n \geqslant 3$).
Докажите, что из множества $X$ можно выбрать $9$ таких элементов $\{a_1, a_2, \dots, a_9 \}$, что система уравнений
\begin{equation*}
{\left\{
\begin{split}
a_1 x + a_2 y + a_3 z &= 0, \\
a_4 x + a_5 y + a_6 z &= 0,\\
a_7 x + a_8 y + a_9 z &= 0,
\end{split}
\right.}
\end{equation*}
имеет ненулевое целое решение.

\bigskip
\end{document}
